Análisis Económico de Proyectos 13 | Matemática Financiera | El interés compuesto con capitalizaciones en periodos no anuales

Análisis Económico de Proyectos 13 | Matemática Financiera | El interés compuesto con capitalizaciones en periodos no anuales

DESCUENTO A VALOR ACTUAL.

¿Cuanto se debe invertir ahora para recibir despues una cantidad determinada?

Una vez que se tiene el metodo para determinar el valor futuro de un determinado capital  mediante el proceso de calculo del interes compuesto, se puede plantear la cuestion inversa: ¿Cual es el valor actual de una suma final prometida, garantizada y sin riesgo?

Es una pregunta relativamente comun que se hacen la mayoria de las personas, aun sin darse cuenta. Por ejemplo, cuando se adquiere un bono, por el cual se promete pagar $ 25 en 10 años, lo mas logico sera preguntar cuanto se esta dispuesto a pagar ahora por dicho bono.

Poniendose en los zapatos de un ejecutivo de finanzas, el participante tendra que contestar esta pregunta cada vez que examine proyectos que prometan una remuneracion futura pero exigen que la inversion se haga ahora.

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Por ejemplo, la decision de invertir en una nueva refineria de petroleo, en el nuevo equipo de un fabricante o en la nueva computadora que va a adquirir el banco, dependera de que el interesado considere que la remuneracion que se espera en el futuro del proyecto haga que valga la pena adquirir el equipo ahora.

Es preciso saber la manera de evaluar esa clase de decisiones, y el descuento a valor actual es un instrumento fundamental en el proceso de evaluacion.

Hay que ver mas detenidamente el descuento como operacion inversa de la acumulacion de intereses. Cuando se capitaliza el interes se incrementa el capital porque, con el transcurso del tiempo, la tasa de interes aumenta el capital, luego si se renuncia a la inversion ahora, se pierde la oportunidad de obtener el producto de esa tasa de interes. Esto implica un costo y es necesario
castigar las ganancias que se esperan en el futuro para compensar la perdida inmediata. A medida que se alarga el tiempo que habra que esperar por las ganancias futuras, tendra que aumentar tambien el castigo asociado con la demora, para que refleje el valor compuesto de la oportunidad perdida.

Por ejemplo, si hay que esperar un año, se habra perdido el 5 por ciento de interes; si hay que esperar otro año, se habra perdido otro 5 por ciento mas el efecto de la capitalizacion del interes no ganado durante el primer año. Esto equivaldra a una perdida del 10.25 por ciento en dos años.

La matematica del descuento

EL concepto del valor actual se puede expresar por medio de una formula, igual que se hizo con el calculo del interes compuesto. Recuerdese que la formula de este ultimo es:

 S n= P(1+ i)n                                                                   (7)

Interes compuesto con capitalizaciones en periodos no anuales.

Con frecuencia, el periodo de inversion o capitalizacion es menor de un año, como es el caso de los bancos que capitalizan los intereses diariamente, o sea trescientos sesenta y cinco veces al año. Es preciso ajustar la formula del interes compuesto para que refleje el mayor numero de veces en que la capitalizacion se repetira durante el año, porque mientras mayor sea la frecuencia
con que gana interes y este a su vez gana nuevo interes, mayor sera la tasa efectiva anual. Para encontrar el valor de una inversion en la cual se capitaliza el interes con frecuencia mayor de un año se aplica la formula siguiente:
Matematica Fin.03 formula Tabla

en donde:

Sn = valor del capital al finalizar el periodo de inversion.
P = capital invertido inicial.
i = tasa de interes simple anual en fraccion de unidad (interes nominal anual).
m = numero de veces que se capitaliza el interes durante el año.
n = numero de años que dura la inversion.

Por ejemplo, si se invirtieron US $ 1,000 por un año y medio al 6 % de interes anual capitalizando mensualmente, el valor del capital al finalizar el año y medio sera:

Matematica Fin.04 formula Tabla

Adviertase que, ademas de aumentarse el exponente de la formula del interes compuesto para que refleje el mayor numero de periodos de capitalizacion, tambien se ajusto la tasa de interes i para que corresponda a los periodos mas cortos. Esto se hizo dividiendo la tasa anual de interes simple anual (interes nominal anual) entre el numero de periodos de capitalizacion del año,
obteniendose una tasa de interes proporcional para los periodos mas cortos.

Si se desea conocer el valor actual o presente de una cantidad futura si la tasa de interes anual es i, la expresion se utilizaria de la siguiente manera:

Matematica Fin.05 formula Tabla

 

en donde:

P = capital inicial invertido
Sn = valor del capital al transcurrir n años.
i = tasa de interes.
n = numero de años en que se invierte el capital.

Se puede ver que la formula del valor actual P se obtiene dividiendo los dos lados de la formula del interes compuesto (7) entre (1 + i )n. La ecuacion (9) permite contestar la pregunta: Para un valor futuro (Sn), ¿cual es su valor actual si se renuncia a una tasa de interes i durante n años?

Tomese, por ejemplo, el bono que promete pagar $ 25 al cabo de 10 años contados desde la fecha de compra, suponiendo que la tasa de interes de la oportunidad perdida es del 5 por ciento.
De acuerdo con la formula:

Sn = $ 25.00
i = 0.05
n = 10 años

entonces:
Matematica Fin.06 formula Tabla
En otras palabras, despues de descontar el valor futuro que se recibira ($25) por los 10 años de espera al 5 por ciento anual de interes compuesto, el valor equivalente en el momento presente es unicamente de $ 15.35 y por ese dinero como maximo se debera comprar actualmente el bono de $ 25. Mientras se descuente a una tasa positiva de interes, el valor actual sera siempre inferior a la suma que se espera en el futuro.

El interes compuesto con capitalizaciones en periodos no anuales

04 interes compuesto con capitalizaciones - periodos no anuales

  • n = numero de años de la inversion.
  • m = numero de veces que se capitaliza al año
  • i = tasa de interes nominal anual
  • P = capital inicial invertido.
  • S = valor del capital al finalizar el periodo de inversion

El interes efectivo

05 interes efectivo

  • Iefec = Interes efectivo anual.
  • i      = tasa de interes nominal anual
  • m    = numero de veces que se capitaliza al año
  • i/m  = tasa de interes nominal del periodo.

 

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